Aceleração Escalar

1. Aceleração Escalar Média

A aceleração escalar é a a grandeza física que nos indica o ritmo com que a velocidade escalar de um móvel varia.

A aceleração é uma grandeza causada pelo agente físico força. Quando um móvel receber a ação de uma força, ou de um sistema de forças, pode ficar sujeito a uma aceleração e, conseqüentemente, sofrerá variação de velocidade.
Definição

Aceleração escalar média é a razão entre a variação de velocidade escalar instantânea e o correspondente intervalo de tempo.

Assim, escrevemos:

No Sistema Internacional (SI), a unidade para a aceleração escalar média é o metro por segundo por segundo (m/s/s), que abreviamos por m/s². Outras unidades podem ser utilizadas, tais como cm/s² e km/h².

A aceleração escalar média apresenta o mesmo sinal da variação de velocidade escalar instantânea ( ), pois o intervalo de tempo () é sempre positivo.

Quando informamos que num certo intervalo de tempo o móvel teve uma aceleração escalar média de 2 m/s², isto significa que em média a sua velocidade escalar esteve aumentando de 2m/s a cada segundo. Por outro lado, uma aceleração escalar média de – 2 m/s², quer dizer que sua velocidade escalar esteve diminuindo em média de 2 m/s a cada segundo.

2. Aceleração Escalar Instantânea

De modo análogo à velocidade escalar instantânea, podemos obter a aceleração escalar instantânea, partindo da expressão que nos fornece a aceleração escalar média ( / ), fazendo tender a zero. Com este procedimento, a aceleração escalar média tende para um valor denominado de aceleração escalar instantânea:

Em termos práticos, vamos determinar a aceleração instantânea da seguinte forma:

A aceleração escalar instantânea representa a aceleração do móvel num determinado instante ( t ) e, mais precisamente, seu cálculo é feito através do processo de derivação, análogo ao ocorrido com a velocidade escalar instantânea.

Simbolicamente, isto é expresso assim:

Em movimentos nos quais a velocidade escalar instantânea varia de quantidades iguais em intervalos de tempo iguais, a aceleração escalar é uma constante. e, portanto, as acelerações escalares instantânea e média apresentam o mesmo valor. Nestes casos, usamos o termo aceleração escalar sem necessidade de especificar se é média ou instantânea.

Exemplos

3. Classificação

Sabemos que o velocímetro de um veículo indica o módulo de sua velocidade escalar instantânea. Quando as suas indicações são crescentes, está ocorrendo um movimento variado do tipo acelerado. Quando o velocímetro indica valores decrescentes, o movimento é classificado como retardado.

De modo geral, podemos detalhar esses casos assim:

a) O móvel se movimenta com uma velocidade escalar instantânea, cujo módulo aumenta em função do tempo. O movimento é denominado acelerado.

Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no mesmo sentido da velocidade escalar instantânea, ou seja, e possuem o mesmo sinal.

b) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea cujo módulo diminui em função do tempo. O movimento é denominado retardado.

Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no sentido oposto ao da velocidade escalar instantânea, ou seja, e possuem sinais opostos.

c) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea constante em função do tempo. O movimento é denominado uniforme. Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser nula  ( = 0).

Observação – Tanto o movimento acelerado quanto o retardado podem apresentar uma aceleração escalar instantânea constante. Neste caso, o movimento recebe a denominação de uniformemente acelerado ou retardado.

Exemplificando:

Exercícios Resolvidos

01. Um móvel possui velocidade escalar de 5,0 m/s. Sendo acelerado durante 10 s, atinge a velocidade escalar de 25 m/s.

Determine a aceleração escalar média para esse móvel.

Resolução

Uma aceleração escalar média de 2,0 m/s² significa que a velocidade escalar instantânea variou em média de 2,0 m/s a cada segundo.

02. Um automóvel, movimentando-se a 90 km/h, é freado e pára em 10 s. Determine a aceleração escalar média durante a frenagem.

Resolução

Sendo 90 km/h = 25 m/s, temos:




Neste exemplo, temos a velocidade escalar instantânea positiva e a aceleração escalar média negativa. Isto significa que, no decorrer do tempo, a velocidade escalar instantânea diminui, pois a aceleração média possui sinal contrário ao da velocidade e, conseqüentemente, contrário ao da trajetória.

03. Um ponto material desloca-se segundo a função horária do espaço:




Determine, no instante t = 1 s:

a) o espaço;

b) a velocidade escalar;

c) a aceleração escalar.

Resolução

 

04. Um ponto material desloca-se sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função horária do espaço abaixo:

Classifique o movimento no instante t = 2 s, indicando se é progressivo ou retrógrado e se é acelerado ou retardado.

Resolução

Para classificar o movimento, devemos analisar os sinais da velocidade e da aceleração no instante considerado.

• A velocidade é obtida através da derivada da função horária do espaço:




• A aceleração é dada pela derivada da função horária da velocidade:

4. Movimento Uniformemente Variado

Um carro movimentando-se pelas ruas de uma cidade, gotas de chuvas caindo, as pás de um ventilador, ao ser ligado ou desligado, são exemplos de corpos que se movimentam com velocidade escalar variável, os chamados movimentos variados.

Dentre os movimentos variados, daremos destaque, a partir deste módulo, aos movimentos uniformemente variados, movimentos nos quais a velocidade escalar do corpo aumenta ou diminui, em relação ao tempo, de maneira uniforme, ou seja, os corpos movimentam-se com aceleração escalar constante.

5. Aceleração Escalar Constante

Um objeto encontra-se em movimento uniformemente variado (MUV) quando a sua velocidade escalar varia de quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Nestas condições, podemos dizer que a aceleração escalar média coincide com o valor da aceleração escalar instantânea e podemos chamá-la simplesmente de aceleração escalar (a).

6. Diagrama Horário da Aceleração Escalar

Como no movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante positiva ou negativa, podemos representá-la através do diagrama horário abaixo:

Propriedade

A variação de velocidade () de um MUV, num intervalo de tempo (t), é dada por:

Geometricamente, isto corresponde à área sob o gráfico a x t.

 

   

7. Função Horária da Velocidade Escalar

Considere um móvel trafegando em movimento uniformemente variado, com aceleração escalar a.

Em destaque na figura acima, observamos que o móvel no instante t = 0 possui velocidade escalar inicial ₀. Após um tempo t, ele atinge a velocidade escalar .

Lembrando que = a · t, podemos deduzir a função horária de sua velocidade assim:

Observe que todo MUV terá este tipo de função, isto é trata-se de uma função matemática do 1º grau, onde ₀ e a correspondem aos seus coeficientes linear e angular, respectivamente.

8. Diagrama Horário da Velocidade Escalar

Já que a função horária da velocidade de todo MUV é do primeiro grau, o gráfico velocidade x tempo terá a forma de uma reta inclinada, a partir da velocidade inicial 0 . Observe que a declividade da reta representa o coeficiente angular da função, ou seja:

Exercícios Resolvidos

01. A tabela a seguir fornece, em função do tempo, a velocidade escalar de uma pequena esfera que desliza ao longo de uma rampa com aceleração constante.

Pede-se:

a) a aceleração escalar da esfera;

b) a função horária de sua velocidade;

c) o gráfico velocidade x tempo


Resolução

a) Pela tabela, notamos que a cada intervalo de 2,0 s sua velocidade escalar varia de 3,0 m/s.

Logo:

b) Para t = 0, a tabela nos informa a velocidade inicial da esfera, ou seja: ₀ = 1,0 m/s. Usando agora a expressão da função horária da velocidade para MUV, vem:

c) Gráfico v x t :

02. Um carro parte do repouso e mantém uma aceleração escalar de 2,0 m/s² durante 10 s. Imediatamente após ele é freado bruscamente, vindo a diminuir sua velocidade escalar a uma taxa constante de - 4,0 m/s² até parar.

a) Determine a duração total deste movimento.

b) Construa os diagramas horários da velocidade e da aceleração escalares.

Resolução

a) No final da fase uniformemente acelerada, o carro atingiu uma certa velocidade escalar. Vamos calculá-la:




Na fase de frenagem, até parar, ele reduz sua velocidade de 20 m/s para zero. Com esta variação de velocidade podemos determinar a duração da brecada, ou seja:




Então, para obtermos a duração total de movimento, basta somar as durações de cada fase, isto é:





b) Gráficos x t e a x t :

03. A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo, a partir de t = 0, conforme a função:

a) Determine a sua velocidade inicial e sua aceleração escalar?

b) Em que faixa de tempo o movimento é retardado?

Resolução

a) O movimento é uniformemente variado, pois a função horária de sua velocidade é do primeiro grau. Logo sua velocidade é dada por: = ₀ + at .
Por comparação com a função fornecida, temos:

b) Pelo fato da aceleração escalar do móvel ser constantemente negativa, o movimento será retardado enquanto a velocidade escalar do móvel for de sinal oposto ao da aceleração, ou seja, positiva.

Impondo esta condição, vem:

Considerando-se a partir de t = 0, o movimento será retardado entre os instantes 0 e 4 s. Na forma de desigualdade isto seria expresso assim:

Observação

Note pelo gráfico a seguir que o instante t = 4 s é o momento da inversão do sentido de tráfego, ou seja, o instante em que o móvel pára ( = 0). Após o instante t = 4 s, o móvel entra em movimento acelerado, pois e a passam a ter o mesmo sinal (ambas negativas).

9. Deslocamento Escalar

Vimos, no módulo anterior, que, no movimento uniformemente variado, a velocidade escalar varia no tempo segundo uma função do primeiro grau
(v = v₀ + a t ) e, portanto, apresenta gráfico v x t como sendo uma reta inclinada.

Analogamente ao que ocorreu no estudo de movimento uniforme, a área compreendida entre o gráfico v x t e o eixo dos tempos expressa o deslocamento escalar ocorrido no intervalo de tempo escolhido.

Entre os instantes 0 e t, a área do trapézio destacado no gráfico acima representa o deslocamento escalar efetuado pelo M.U.V.. Podemos, para facilitar o cálculo, dividir o trapézio em um retângulo e um triângulo, de forma que, somando-se suas respectivas áreas, teremos o deslocamento .

Esta expressão horária do 2^o grau, denominada função horária do deslocamento, permite calcular o deslocamento escalar ocorrido entre o instante inicial
(t = 0) e um instante final (t) qualquer, bastando que se conheça a velocidade escalar inicial (v₀) do móvel e a sua aceleração escalar (a).



10. Velocidade Escalar Média no M.U.V.
Sabemos que a razão fornece a velocidade escalar média de qualquer movimento. Entretanto, no M.U.V., ela também pode ser calculada através da média aritmética das velocidades instantâneas inicial (v₀) e final (v). Observe a demonstração a seguir:

De modo geral, a velocidade escalar média no M.U.V. pode ser determinada entre dois instantes quaisquer (t₁ e t₂), obtendo-se a média aritmética das velocidades escalares desses instantes (v₁ e v₂), ou seja:

Pela velocidade escalar média calculada, podemos também determinar o deslocamento escalar acontecido. Por exemplo, um carro em M.U.V. que varia sua velocidade escalar de 15 m/s para 25 m/s, num prazo de 4,0 segundos, desloca:

11. Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é uma expressão que relaciona as três grandezas fundamentais do M.U.V. : velocidade, aceleração e variação de espaço, independentemente do tempo.

A determinação da equação de Torricelli é feita a partir da fusão das funções horárias da velocidade e do deslocamento, com a eliminação da grandeza tempo. Observe:

Substituindo esse valor de t na função horária do deslocamento, temos:






Desenvolvendo, matematicamente, a expressão acima, vem:

Exercícios Resolvidos

01. Um automóvel com velocidade escalar de 90 km/h (ou seja, 25 m/s) é freado uniformemente e pára após 10 s. Analisando esta frenagem, calcule:

a) a aceleração escalar do carro;

b) o seu deslocamento escalar até parar.

Resposta

Podemos também calcular o deslocamento escalar sem utilizar a aceleração escalar. Observe:

02. Um carro parte do repouso com uma aceleração escalar constante de 2,0 m/s² e percorre 25 m. Nesse percurso:

a) qual a velocidade escalar final atingida pelo carro?

b) qual a sua velocidade escalar média?

Resposta

a) Nota-se, pelos dados, a ausência da grandeza tempo. Logo, devemos determinar a velocidade atingida por uma equação não horária. Usando a equação de Torricelli, temos:

12. Função Horária do Espaço

Podemos obter a relação espaço-tempo do M.U.V. por meio da função horária do deslocamento, já demonstrada. Observe:

Portanto, todo movimento uniformemente variado possui função horária do espaço do segundo grau, sendo s₀ , v₀ e a/2 os coeficientes da função.
13. Diagrama Horário do Espaço

A representação gráfica de toda função matemática do segundo grau é uma parábola. Como a função horária do espaço do M.U.V. é do 2^o grau, o gráfico s x t será parabólico.

A concavidade da parábola do gráfico s x t será voltada para cima quando a aceleração escalar do M.U.V. for positiva. Se a aceleração escalar for negativa, a concavidade da parábola será voltada para baixo.

Repare que o vértice da parábola, do gráfico s x t acima, ocorre no instante ( t_i ) de inversão do sentido de movimento, que deixa de ser progressivo para ser retrógrado, ou vice-versa.

Dessa forma, o instante do vértice da parábola, no gráfico s x t, sempre representa o momento em que a velocidade do móvel é nula (v = 0).

14. Deslocamentos Sucessivos

Considere um móvel que parta do repouso (v₀ = 0) com uma aceleração escalar constante positiva, como sucede com uma bolinha quando solta numa rampa.

Por meio do cálculo de áreas no gráfico velocidade x tempo, podemos determinar, em intervalos de tempos iguais, os deslocamentos sucessivos efetuados pelo móvel.

Repare que os deslocamentos escalares sucessivos são crescentes e proporcionais aos números ímpares, ou seja: d, 3d, 5d, 7d, etc. Essa propriedade sempre ocorre quando o móvel parte com velocidade inicial nula.

Podemos construir a parábola do gráfico s x t desse M.U.V. utilizando tal propriedade. Observe essa construção abaixo:

Exemplificando:

Exercícios Resolvidos

01. A função horária do espaço de um móvel é dada por: s = 2 + 3t + 4t²    (SI)

Determine para esse movimento:

a) o espaço inicial (s₀), a velocidade inicial (₀) e a aceleração escalar (a);

b) a função horária de sua velocidade.

Resolução

a) Trata-se de um movimento uniformemente variado, pois a função horária dada é do 2^o grau, ou seja:

Logo, sua velocidade escalar média foi de:

Lembrando que a velocidade média no M.U.V. equivale à média das velocidades inicial e final, vem:

c) Usando a função horária da velocidade do M.U.V., temos:

Substituindo na função os valores do espaço inicial
(s₀ = 5,0 m, pelo gráfico), da velocidade inicial (₀) e da aceleração escalar (a) da partícula, vem:

Portanto:    

Esta expressão representa a equação da parábola do gráfico s × t dado.

03. A figura a seguir mostra, em intervalos de 1,0 s, a mudança de posição de uma bolinha que se move sobre uma rampa longa, após ser solta no instante t = 0.

a) Que tipo de movimento ela executa sobre a rampa?

b) Quantos centímetros ela percorrerá durante seu quarto segundo de movimento sobre a rampa?

Resolução

a) O movimento é uniformemente acelerado, já que os deslocamentos sucessivos da bolinha (a cada 1,0 s) são crescentes e proporcionais aos números ímpares, isto é: 10 cm ( no 1^o segundo), 30 cm (no 2^o segundo), 50 cm (no 3^o segundo), etc.

b) Se os deslocamentos consecutivos da bolinha (a cada 1,0 s) seguem a ordem dos números ímpares, portanto no quarto segundo, isto é, entre t = 3,0 s e t = 4,0 s, a bolinha percorrerá 70 cm.

Capítulo 04. Diagramas Horários

1. Introdução

Conhecendo-se o diagrama horário de uma das grandezas de um movimento (espaço, velocidade ou aceleração), podemos tirar conclusões a respeito das outras grandezas, bem como construir seus respectivos diagramas horários.

O quadro a seguir relaciona os diagramas horários com as informações que podem ser obtidas em cada um deles.

Um movimento pode ser composto por etapas com características diferentes. Por exemplo, um veículo pode entrar em movimento, acelerando de modo uniforme (M.U.V.), e, após certo tempo, passar a manter constante sua velocidade atingida (M.U.).

Interpretar e construir diagramas horários para esse tipo de movimento misto, a partir das características já estudadas de M.U. e M.U.V., são os objetivos deste módulo.

2. Diagramas Horários do M.U.

O Movimento Uniforme (M.U.) apresenta as seguintes características:

Tais características são representadas graficamente assim:

3. Diagramas Horários do M.U.V.

O Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) possui as seguintes características:

A representação gráfica dessas característica segue abaixo:

4. Repouso

No estado de repouso: o espaço é constante (pois o corpo não muda de posição), a velocidade é constantemente nula e, portanto, não há aceleração. Veja isso diagramado:

Exercícios Resolvidos

01. O gráfico a seguir indica como varia a posição de uma pessoa em função do tempo, ao longo de uma caminhada em linha reta.

Com base no gráfico:

a) O que ocorre com a pessoa entre os instantes t = 40 s e t = 60 s ?

b) Qual a distância total percorrida pela pessoa entre os instantes 0 e 80 s ?

c) Construa o diagrama horário de sua velocidade escalar.

Resolução

a) Entre os instantes 40 s e 60 s, a pessoa encontra-se em repouso (espaço constante).

b) Nos primeiros 40 s, a pessoa caminha em movimento uniforme progressivo (s cresce linearmente com t) e desloca: s = s – s₀ = 60 – 20 = 40 m.

Nos últimos 20 s, a pessoa retrocede, em movimento uniforme, do espaço 60 m para o espaço 40 m. Logo, desloca: s = 40 – 60 = – 20 m.

Conclusão:  d = |s|

                    d_Total = d_Ida + d_Volta = 40 + 20

                    d_Total = 60 m

c) Nos primeiros 40 s:

   (constante)

Nos últimos 20 s:

   (constante)

Lembrando que a velocidade é nula (repouso), entre os instantes 40 s e 60 s, temos:

02. A posição x de um veículo, que se move entre dois semáforos de uma avenida retilínea, é mostrada em função do tempo t pelo gráfico abaixo. Considere que os trechos AB e CD do gráfico sejam arcos de parábola, com vértices respectivamente em A e em D.

Esboce os diagramas horários da velocidade e da aceleração para este movimento.

Resolução

Vamos detalhar o tipo de movimento desenvolvido em cada trecho e, depois, construir os gráficos.

•AB: M.U.V., com ₀ = 0 (vértice em A). Em 3,0 segundos, o carro desloca 18 metros. Logo:

(constante)


• BC: M.U., com = 12 m/s (a velocidade final do trecho AB) e aceleração nula (a = 0).

• CD: M.U.V., com a = – 4,0 m/s², pois as parábolas AB e CD são simétricas, sendo CD com concavidade voltada para baixo. Em D, = 0.

• DE: Repouso ( = 0   e   a = 0).

5. Cálculo de Áreas

O deslocamento escalar (s) num certo intervalo de tempo (t), para um movimento qualquer, pode ser determinado através do cálculo da área existente entre o gráfico × t e o eixo dos tempos, limitada pelo intervalo de tempo escolhido. Observe isso no diagrama abaixo:

O diagrama horário da velocidade pode indicar que o movimento é composto por etapas, de tal forma que podemos, em cada trecho, identificar suas características e também calcular seus respectivos deslocamentos escalares.

Analogamente, a área calculada no diagrama horário da aceleração, entre o gráfico e o eixo dos tempos, limitada por um t, indica a variação de velocidade ocorrida naquele intervalo.

Observação

A área sob o gráfico espaço x tempo não tem significado físico prático. Logo, não há razão para efetuarmos seu cálculo.

6. Declividades

Vimos no estudo de movimento uniforme que a declividade (tg ) da reta inclinada do gráfico s x t indica o valor da velocidade escalar constante do móvel. Ou seja:

Em decorrência disso, num movimento variado a declividade da reta tangente ao gráfico s x t, num certo instante t, representa numericamente a velocidade escalar do móvel naquele instante. Isto é:

                

Analogamente, o cálculo de declividade num gráfico v x t leva-nos a encontrar a aceleração escalar do movimento ou a que ocorre num determinado instante.

Observação

No cálculo de declividades (tg ) em diagramas horários, procuramos não substituir o ângulo (em graus) já que os eixos cartesianos dos diagramas na Física normalmente apresentam escalas diferentes.

Exercícios Resolvidos

01. O gráfico a seguir indica como varia a velocidade escalar de uma composição de metrô, em função do tempo, durante seu tráfego entre duas estações.
Com base no gráfico:

a) Calcule o deslocamento escalar da composição entre as duas estações.

b) Construa o diagrama horário da ace-leração escalar para esse movimento.

Resolução

a) A área do trapézio, sob o gráfico x t dado, representa o deslocamento escalar ocorrido, isto é:

b) Primeiramente, vamos calcular a aceleração escalar nas três etapas do movimento.

• Nos primeiros 15 s: (M.U.V.)

   

• Entre os instantes 15 s e 45 s: a = 0 (M.U.).

• Nos últimos 15 s: (M.U.V.)

A partir desses valores, temos:

02. A performance de um atleta numa corrida de curta duração (12 s) é indicada através do diagrama horário de sua aceleração escalar. Considere que em t = 0 o atleta parte do repouso (₀ = 0) e da origem (s₀ = 0).

a) Esboce o diagrama horário de sua velocidade escalar.

b) Calcule a distância percorrida pelo atleta nos 12 s de prova.

c) Esboce o gráfico espaço x tempo.

Resolução

a) Nos primeiros 4,0 s de M.U.V., o atleta atinge uma velocidade de:

= ₀ + a · t = 0 +2,5 · 4,0 =10 m/s

Poderíamos também chegar ao resultado acima calculando a área sob o gráfico a x t, ou seja:

Lembrando que o atleta vai manter esta velocidade até o final (pois, na seqüência, a = 0), vem:

b) Pela área sob o gráfico x t, temos:

c) Nos primeiros 4,0 s de M.U.V., o gráfico s x t será um arco de parábola com concavidade voltada para cima (pois, a > 0) , a partir da origem (s₀ = 0) e com vértice nesse ponto (pois, v₀ = 0). Entre os instantes 4,0 s e 12 s de M.U., o gráfico segue retilíneo e inclinado.

Para traçarmos o gráfico s x t usaremos os deslocamentos ocorridos em cada etapa, que podem ser obtidos através da área sob o gráfico v x t. Ou seja:

Capítulo 05. Movimentos Verticais

1. Experiência de Galileu

Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem desvendou pela primeira vez, de modo correto, como ocorre a queda livre dos corpos, quando soltos próximos à superfície da Terra. Desprezando a ação do ar, ele enunciou:

Todos os corpos soltos num mesmo local, livres da resis-tência do ar, caem com uma mesma aceleração, quais-quer que sejam suas massas. Essa aceleração é denomi-nada gravidade (g).
Próximo da Terra:

2. Queda Livre

Considere um objeto em queda vertical, a partir do repouso, num local em que o efeito do ar pode ser desprezado e a acele-ração da gravidade seja cons-tante e igual a g. Orientando-se a trajetória para baixo, o objeto realizará um movimento uni-formemente variado (MUV) com aceleração escalar igual a g. Ou seja:

Por meio da equação horária do deslocamento de MUV, podemos relacionar a altura descida (h) com seu respe-ctivo tempo de queda (t) da seguinte forma:

   

A velocidade escalar (v) adquirida após certo tempo (t) de queda é dada por:

 

Por outro lado, podemos expressar a velocidade atingida (v) em função da altura descida (h). Usando a equação de Torricelli, temos:

Assim, a velocidade escalar atingida é diretamente proporcional ao tempo de queda e, ao mesmo tempo, diretamente proporcional à raiz quadrada da altura descida.

3. Deslocamentos Sucessivos

Como se trata de um MUV vertical, um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos números ímpares.

Repare que as distâncias descidas, em sucessivos intervalos de tempo (t), formam uma progressão aritmética proporcional aos números ímpares, ou seja: d, 3d, 5d, 7d, etc.

Exercícios Resolvidos

01. Um corpo é abandonado, a partir do repouso, de uma altura h = 45 m acima do solo terrestre. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s².

Determine:

a) o tempo de queda do corpo até o solo;

b) o módulo da velocidade do corpo no instante em ele atinge o solo.
Resolução



02. Uma pedra é abandonada de uma altura de 3,2 m acima do solo lunar e gasta 2,0 s para atingir o solo.

Pede-se:

a) o valor da aceleração da gravidade na Lua;

b) a altura descida pela pedra em seu último segundo de queda;

c) o gráfico velocidade x tempo de queda.
Resolução

a) Na Lua não há atmosfera, logo a pedra realiza uma queda livre até atingir o solo lunar. Assim:






b) No primeiro segundo de queda a pedra desceu:

Logo, durante seu segundo e último segundo de queda ela percorreu:

h₂ = h – h₁ = 3,2 – 0,8   

Lembrando que as distâncias descidas, sucessivamente a cada 1,0 s, encontram-se na ordem dos números ímpares, poderíamos ter optado pelo seguinte cálculo:

h = h₁ + h₂ (em que, pela ordem, h₂ = 3 h₁)
3,2 = h₁ + 3 h₁
3,2 = 4 h₁
h₁ = 0,8 m h₂ = 3 h₁ =


c) A pedra tem velocidade inicial nula (v₀ = 0) e ,após 2,0 s, atinge uma velocidade final de queda de:

Através desses valores, temos:

4. Lançamento Vertical para Cima

Quando abandonamos um corpo em queda livre ou lançamos tal corpo verticalmente para baixo, a aceleração da gravidade local age no sentido de só acelerar o movimento, ou seja, ela aumenta o módulo da velocidade escalar de queda.

Nesses movimentos descen-dentes, procuramos orientar a trajetória para baixo, de forma que a aceleração escalar coincida com o valor da gravidade local (a = g). O único cuidado que devemos ter no equacionamento dessas quedas é de observar a existência ou não de velocidade inicial.

Por outro lado, quando lançamos um objeto verticalmente para cima (num local onde a resistência do ar é desprezível), a gravidade acaba produzindo dois efeitos: freia o móvel na subida (até pará-lo) e, em seguida, faz o móvel retroceder no vôo, acelerando-o na descida.

Para estudarmos este M.U.V. vertical, procuramos orientar a trajetória para cima. Com isso, a aceleração escalar de vôo (na subida e na descida) passa a ser negativa, ou seja:

5. Cálculos Básicos

A partir das equações do M.U.V., podemos obter, para um corpo lançado para cima, o tempo de subida e a altura máxima atingida em relação ao ponto de partida.

a) Lembrando que no final da subida a velocidade se anula, temos:

b) Pela equação de Torricelli, vem:

6. Diagramas Horários

Representamos a seguir as funções horárias e os diagramas horários da velocidade escalar e da altura do móvel em relação ao ponto de lançamento.

Propriedades

a) O tempo de subida coincide com o tempo de descida até o ponto de lançamento.

b) Quando o móvel retornar ao ponto de lançamento, sua velocidade escalar será igual a (–₀).

Exercícios Resolvidos

01. Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade escalar inicial de 30 m/s.

Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s².

Determine:

a) o tempo de subida;

b) o tempo total de vôo;

c) a altura máxima atingida.

Resolução

a) 

b) Como o tempo de subida é igual ao de descida, temos:

   

c) 

02. O gráfico a seguir indica como variou a velocidade escalar de uma pedra, em função do tempo, após ter sido lançada verticalmente para cima a partir do solo de um certo planeta.

Desprezando qualquer efeito atmosférico, calcule:

a) o valor da aceleração da gravidade em tal planeta;

b) a altura máxima atingida pela pedra.

Resolução

a) Pelo gráfico, a velocidade inicial é 8,0 m/s e o tempo que a pedra leva para subir (até parar) é 2,0 s. Usando a função horária de velocidade, vem:

   

b) A altura máxima pode ser determinada pela área do triângulo sob o gráfico v x t entre 0 e 2,0 s, pois constitui o deslocamento efetuado durante a subida. Ou seja:

   

Como opção, podemos também calcular a altura máxima usando a expressão obtida da equação de Torricelli, isto é: